Sifat perkalian 2 x 2

Ternyata, di balik cara yang sederhana, perkalian 2 × 2 ternyata memiliki suatu rahasia (yang aku sebut sebagai cara alternatif).

Jika selama ini kita mengerjakan perkalian 2 × 2 dengan menggunakan cara mengalikan ke bawah, maka kali ini aku memiliki cara alternatifnya.

Gambar berikut ini merupakan cara alternatif dari perkalian 2 × 2 (meskipun agak sedikit memaksa):

 

Mungkin kalian agak bingung dengan rumusnya. Baik, aku berikan beberapa contohnya:

Contoh:

1.  12 × 2 = … .

     Kita melihat di sini n = 1 (lihat angka yang ditebalkan dan diberi warna merah).

     Dengan menggunakan rumus di atas:

     12 + 2 + (10 × 1)

     = 12 + 2 + 10

     = 24.

2.  2 × 2 = … .

     Dalam perkalian ini, n = 0.

     2 + 2 + (10 × 0)

     = 2 + 2 + 0

     = 4.

3.  32 × 2 = … .

     n = 3.

     32 + 2 + (10 × 3)

     = 32 + 2 + 30

     = 64.

4.  92 × 2 = … .

     n = 9.

     92 + 2 + (10 × 9)

     = 92 + 2 + 90

     = 184.

5.  162 × 2 = … .

     n = 16.

     162 + 2 + (10 × 16)

     = 162 + 2 + 160

     = 324.

6.  842 × 2 = … .

     n = 84.

     842 + 2 + (10 × 84)

     = 842 + 2 + 840

     = 1.684.

Catatan: ini hanya berlaku jika n merupakan bilangan positif.

Pembuktian Perpangkatan Aljabar

­Apakah (a + b)² = a² + b²?

Mari kita buktikan dengan penguraian perpangkatan aljabar.

(a + b)²          = (a + b)(a + b)

                     = a² + ab + ab + b²

                     = a² + 2ab + b²

−(a²) − (b²)    = −(a + b)² + 2ab

a² + b²           = (a + b)² − 2ab.

Ternyata, (a + b)² tidak sama dengan a² + b².

Apakah (a + b)³ = a³ + b³?

(a + b)³          = (a + b)² × (a + b)

                     = (a² + 2ab + b²)(a + b)

                     = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

−(a³) − (b³)    = −(a + b)³ + 3a²b + 3ab²

a³ + b³           = (a + b)³ − 3a²b − 3ab²

                     = (a + b)³ − 3(a²b + ab²).

Ternyata, (a + b)³ tidak sama dengan a³ + b³.

Apakah (a + b)⁴ = a⁴ + b⁴?

(a + b)⁴          = [(a + b)²]²

                     = [(a² + 2ab + b²)]²

                     = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

−(a⁴) − (b⁴)    = −(a + b)⁴ + 4a³b + 4ab³ + 6a²b²

a⁴ + b⁴           = (a + b)⁴ − 4a³b − 4ab³ − 6a²b²

                     = (a + b)⁴ − 2[{2(a³b + ab³) + 3a²b²}]

                     = (a + b)⁴ − 2[{2(a³b + ab³) + 3(ab)²}].

Ternyata, (a + b)⁴ tidak sama dengan a⁴ + b⁴.

Apakah (a + b)⁵ = a⁵ + b⁵?

(a + b)⁵          = (a + b)⁴ × (a + b)

                     = (a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴)(a + b)

                     = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

−(a⁵) − (b⁵)    = −(a + b)⁵ + 5a⁴b + 5ab⁴ + 10a³b² + 10a²b³

a⁵ + b⁵           = (a + b)⁵ − 5a⁴b − 5ab⁴ − 10a³b² − 10a²b³

                     = (a + b)⁵ − 5[{(a⁴b + ab⁴) + 2(a³b² + a²b³)}]

Ternyata, (a + b)⁵ tidak sama dengan a⁵ + b⁵.

Terakhir, apakah (a + b)⁰ = a⁰ + b⁰?

(a + b)⁰           = 1

a⁰ + b⁰            = 1 + 1

                      = 2.

Ingat: semua bilangan (kecuali 0) jika dipangkatkan dengan 0 hasilnya adalah 1.

 

Kesimpulan Akhir

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ, dengan n ≠ 1.

Operasi Hitung Aljabar

Operasi hitung bentuk aljabar terdiri atas penjumlahan aljabar, pengurangan aljabar, perkalian aljabar, dan pembagian aljabar.

A.  Penjumlahan Aljabar

     Contoh:

     1.  4a + 5a + 6a = 15a.

     2.  3a + 7b + 2a + 5b = 5a + 12b.

B.  Pengurangan Aljabar

     Contoh:

     1.  6a − 3a − 2a = a.

     2.  5x − 2y − 4x − 3y = x − 5y.

C.  Perkalian Aljabar

     Contoh:

     1.  2p × 3q × 3p × 2q = 36p²q² atau (6pq)².

     2.  (x + 5)(x − 3) = x² + 2x − 15.

D. Pembagian Aljabar

     Contoh:

     1.  ^6a/₃ = 2a.

     2.  ^8ab/_4b  = 2a.